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At P985 of the book, says But there are cuts that are not determined by rational numbers. If we put into the first class all negative rational numbers and all positive ones whose squares are less than 2 , and put into the second class all the other rationals, then this cut is not determined by a rational number. To each such cut "we create a new irrational member a which is fully defined by this cut; we will say that the number α corresponds to this cut or that it brings about this cut." Hence there corresponds to each cut one and only one either rational or irrational number. The first class should also include zero, the definition of such two classes in Dedekind’s own words :   

看完本文后你至少会明白： 1. 自然数是否包括0 2. 有理数为什么可以用 这种形式唯一表示 3. 如何从自然数很自然地过渡到有理数 4. 如何证明 不是有理数 简单地来讲，自然数就是0,1,2,3, …这些用来“数个数”的数，我们可以很直观地接受它们的存在。0是否包含在自然数里只是一个约定上的分歧 1 ，本文约定自然数包括0，后面我们会看到这种规定的优势。在自然数里进行“加”或“乘”运算产生的仍然是自然数，进行减法运算会出现“不够减”的情况，比如： 在自然数里这个式子没结果，为了解除这种限制，我们引入了负数， 自然数和负数统称为整数。正整数是1, 2, 3, 4, …这些，它与自然数的区别在于是否包含0，这种区别正好可以让这两个概念各尽其用，要是规定自然数不包括0，那么这两个数的概念将会等同起来，最终就会不得不产生“自然数和0”、“正整数和0”、“非负整数”这些相对较为啰唆的表述，这就是规定自然数包括0的优势啦（此规定下“非负整数”就可以用“自然数”取而代之）。另外，把0包含在自然数集内对于集合论也是有着重要意义 2 。 在整数里进行除法有时候也会产生无解的情况，比如 的结果就不是整数，为此我们引入有理数这个概念。有理数就是可以写成 这种形式的数，这里 和 都是整数并且 。整数也可以写成 这种形式，比如 ，所以整数也是有理数。但是每个有理数的 表示形式并不是唯一的，比如 、 、 这三个都表示同一个数，为了让有理数的 表示形式唯一，我们可以规定 是正整数，并且 和 没有比1大的公因子 3 ，那么不能用 这种形式唯一表示的就不是有理数了，我们可以据此来证明 不是有理数（后续我会讲到如何从有理数过渡到无理数，此处先提到 这个无理数并无大碍，毕竟各位之前都有所了解）。 我们首先假设 是有理数，那么 就可以用 这种形式唯一表示，即 ，按规定 和 没有比1大的公因子，接下来我们将导出与这个观点相悖的结论出来。对这个等式两边平方并稍作变换得到 ，那么 就是偶数了，显然 也必须是偶数，便有 ， 是整数，把前面等式的 换作 后有 ，即 ，这说明 是偶数，显然 也必须是偶数，这就证明了 和 有公因子2，这与前面的“ 和 没有比1大的公因子”这个规定矛盾，而造成这种矛盾的起因就是我们一开始假设 是有理数，这就证明了 不是有理数 4 。 References : ...

①可以通过 闭区间套定理的证明 过程来理解 ②这里用到了 极限与不等关系 ③可通过数轴关于原点两边对称这一点来理解 下面要说明的是“上确界是递增有界数列的极限“ ④应该说成是实数系的连续性更准确，因为单个实数只是一个个体，并不能表现出连续性，本博客会对“实数系的连续性”做专门讲解。 ⑤如果不存在$a_N$,那么就会得出a-ε是上界，与a是上确界矛盾

①确界与极限，看完这篇你才能明白http://redstoneleo.blogspot.com/2017/01/2.html ②这个批注由 这个问题 而来 表示$c$可能在$\bigcap_{n=1}^{\infty} (a_{n},b_{n})$或$\bigcap_{n=1}^{\infty} (a_{n},b_{n}]$或$\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n},b_{n})$或$\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n},b_{n}]$内，$\bigcap_{n=1}^{\infty} (a_{n},b_{n})$、$\bigcap_{n=1}^{\infty} (a_{n},b_{n}]$、$\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n},b_{n})$都是 $\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n},b_{n}]$的真子集，$c$可以不在$\bigcap_{n=1}^{\infty} (a_{n},b_{n})$或$\bigcap_{n=1}^{\infty} (a_{n},b_{n}]$或$\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n},b_{n})$内，但是$c$不可能不在$\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n},b_{n}]$中，否则就与 矛盾了。所以在这里只有$\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n},b_{n}]$才一定包含$c$，其它三种区间的交集形式仅仅只是可能包含$c$,这也启示我们并不只是只有闭区间套可以 包含$c$，其它三种区间的交集也可以 包含 $c$。 ③这里用到了 极限与不等关系

① ②这里用到了 极限与不等关系 ③如果a≠b，那么便不会有$\lim _{n\rightarrow \infty }\left| I_n \right| =0$ ④如果还存在一点c在 内，那么同样也不会有$\lim _{n\rightarrow \infty }\left| I_n \right| =0$ 希望深入了解闭区间套定理（Nested intervals theorem），请看讲解2： http://redstoneleo.blogspot.com/2017/01/nested-intervals-theorem2_8.html

①②这种最大值或最大数码仅仅只是理论上预测到它确实存在而已，实际操作上除非能够比较完数列无限多项的值才能得出这种最大值或最大数码，但是“比较完数列无限多项”这种事情目前仍然是不可能的。 “最小上界是这个数列的极限”证明看这里：http://redstoneleo.blogspot.com/2017/01/2.html