从自然数到有理数（From natural numbers to rational numbers）

看完本文后你至少会明白：
1. 自然数是否包括0
2. 有理数为什么可以用$\dfrac {p} {q}$这种形式唯一表示
3. 如何从自然数很自然地过渡到有理数
4. 如何证明$\sqrt {2}$不是有理数

简单地来讲，自然数就是0,1,2,3, …这些用来“数个数”的数，我们可以很直观地接受它们的存在。0是否包含在自然数里只是一个约定上的分歧1，本文约定自然数包括0，后面我们会看到这种规定的优势。在自然数里进行“加”或“乘”运算产生的仍然是自然数，进行减法运算会出现“不够减”的情况，比如： $$1-2=?$$ 在自然数里这个式子没结果，为了解除这种限制，我们引入了负数， $$-1, -2, -3, ...$$ 自然数和负数统称为整数。正整数是1, 2, 3, 4, …这些，它与自然数的区别在于是否包含0，这种区别正好可以让这两个概念各尽其用，要是规定自然数不包括0，那么这两个数的概念将会等同起来，最终就会不得不产生“自然数和0”、“正整数和0”、“非负整数”这些相对较为啰唆的表述，这就是规定自然数包括0的优势啦（此规定下“非负整数”就可以用“自然数”取而代之）。另外，把0包含在自然数集内对于集合论也是有着重要意义2。

在整数里进行除法有时候也会产生无解的情况，比如$4\div 3$的结果就不是整数，为此我们引入有理数这个概念。有理数就是可以写成$\dfrac {p} {q}$这种形式的数，这里${p}$和${q}$都是整数并且${q\neq 0}$。整数也可以写成$\dfrac {p} {q}$这种形式，比如$2=\dfrac {2} {1}=\dfrac {-4} {-2}$，所以整数也是有理数。但是每个有理数的$\dfrac {p} {q}$表示形式并不是唯一的，比如$\dfrac {2} {4}$、$\dfrac {1} {2}$、$\dfrac {-2} {-4}$这三个都表示同一个数，为了让有理数的$\dfrac {p} {q}$表示形式唯一，我们可以规定${p}$是正整数，并且${p}$和${q}$没有比1大的公因子3，那么不能用$\dfrac {p} {q}$这种形式唯一表示的就不是有理数了，我们可以据此来证明$\sqrt {2}$不是有理数（后续我会讲到如何从有理数过渡到无理数，此处先提到$\sqrt {2}$这个无理数并无大碍，毕竟各位之前都有所了解）。
我们首先假设$\sqrt {2}$是有理数，那么$\sqrt {2}$就可以用$\dfrac {p} {q}$这种形式唯一表示，即 $$\sqrt {2}=\dfrac {p} {q}$$ ，按规定${p}$和${q}$没有比1大的公因子，接下来我们将导出与这个观点相悖的结论出来。对这个等式两边平方并稍作变换得到 $$p^{2}=2q^{2}$$ ，那么$p^{2}$就是偶数了，显然$p$也必须是偶数，便有$p=2p_{0}$，$p_{0}$是整数，把前面等式的$p$换作$2p_{0}$后有$4p_{0}^{2}=2q^{2}$，即$2p_{0}^{2}=q^{2}$，这说明$q^{2}$是偶数，显然$q$也必须是偶数，这就证明了${p}$和${q}$有公因子2，这与前面的“${p}$和${q}$没有比1大的公因子”这个规定矛盾，而造成这种矛盾的起因就是我们一开始假设$\sqrt {2}$是有理数，这就证明了$\sqrt {2}$不是有理数4。
References :

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1. Terence Tao, Analysis I, third edition, P15 ↩
2. D.C. Goldrei, Classic Set Theory: For Guided Independent Study, P32 ↩
3. Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, P2 ↩
4. Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, P5 ↩