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看完本文后你至少会明白： 1. 自然数是否包括0 2. 有理数为什么可以用 这种形式唯一表示 3. 如何从自然数很自然地过渡到有理数 4. 如何证明 不是有理数 简单地来讲，自然数就是0,1,2,3, …这些用来“数个数”的数，我们可以很直观地接受它们的存在。0是否包含在自然数里只是一个约定上的分歧 1 ，本文约定自然数包括0，后面我们会看到这种规定的优势。在自然数里进行“加”或“乘”运算产生的仍然是自然数，进行减法运算会出现“不够减”的情况，比如： 在自然数里这个式子没结果，为了解除这种限制，我们引入了负数， 自然数和负数统称为整数。正整数是1, 2, 3, 4, …这些，它与自然数的区别在于是否包含0，这种区别正好可以让这两个概念各尽其用，要是规定自然数不包括0，那么这两个数的概念将会等同起来，最终就会不得不产生“自然数和0”、“正整数和0”、“非负整数”这些相对较为啰唆的表述，这就是规定自然数包括0的优势啦（此规定下“非负整数”就可以用“自然数”取而代之）。另外，把0包含在自然数集内对于集合论也是有着重要意义 2 。 在整数里进行除法有时候也会产生无解的情况，比如 的结果就不是整数，为此我们引入有理数这个概念。有理数就是可以写成 这种形式的数，这里 和 都是整数并且 。整数也可以写成 这种形式，比如 ，所以整数也是有理数。但是每个有理数的 表示形式并不是唯一的，比如 、 、 这三个都表示同一个数，为了让有理数的 表示形式唯一，我们可以规定 是正整数，并且 和 没有比1大的公因子 3 ，那么不能用 这种形式唯一表示的就不是有理数了，我们可以据此来证明 不是有理数（后续我会讲到如何从有理数过渡到无理数，此处先提到 这个无理数并无大碍，毕竟各位之前都有所了解）。 我们首先假设 是有理数，那么 就可以用 这种形式唯一表示，即 ，按规定 和 没有比1大的公因子，接下来我们将导出与这个观点相悖的结论出来。对这个等式两边平方并稍作变换得到 ，那么 就是偶数了，显然 也必须是偶数，便有 ， 是整数，把前面等式的 换作 后有 ，即 ，这说明 是偶数，显然 也必须是偶数，这就证明了 和 有公因子2，这与前面的“ 和 没有比1大的公因子”这个规定矛盾，而造成这种矛盾的起因就是我们一开始假设 是有理数，这就证明了 不是有理数 4 。 References : ...