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①可以通过 闭区间套定理的证明 过程来理解 ②这里用到了 极限与不等关系 ③可通过数轴关于原点两边对称这一点来理解 下面要说明的是“上确界是递增有界数列的极限“ ④应该说成是实数系的连续性更准确，因为单个实数只是一个个体，并不能表现出连续性，本博客会对“实数系的连续性”做专门讲解。 ⑤如果不存在$a_N$,那么就会得出a-ε是上界，与a是上确界矛盾

①确界与极限，看完这篇你才能明白http://redstoneleo.blogspot.com/2017/01/2.html ②这个批注由 这个问题 而来 表示$c$可能在$\bigcap_{n=1}^{\infty} (a_{n},b_{n})$或$\bigcap_{n=1}^{\infty} (a_{n},b_{n}]$或$\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n},b_{n})$或$\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n},b_{n}]$内，$\bigcap_{n=1}^{\infty} (a_{n},b_{n})$、$\bigcap_{n=1}^{\infty} (a_{n},b_{n}]$、$\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n},b_{n})$都是 $\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n},b_{n}]$的真子集，$c$可以不在$\bigcap_{n=1}^{\infty} (a_{n},b_{n})$或$\bigcap_{n=1}^{\infty} (a_{n},b_{n}]$或$\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n},b_{n})$内，但是$c$不可能不在$\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n},b_{n}]$中，否则就与 矛盾了。所以在这里只有$\bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n},b_{n}]$才一定包含$c$，其它三种区间的交集形式仅仅只是可能包含$c$,这也启示我们并不只是只有闭区间套可以 包含$c$，其它三种区间的交集也可以 包含 $c$。 ③这里用到了 极限与不等关系

① ②这里用到了 极限与不等关系 ③如果a≠b，那么便不会有$\lim _{n\rightarrow \infty }\left| I_n \right| =0$ ④如果还存在一点c在 内，那么同样也不会有$\lim _{n\rightarrow \infty }\left| I_n \right| =0$ 希望深入了解闭区间套定理（Nested intervals theorem），请看讲解2： http://redstoneleo.blogspot.com/2017/01/nested-intervals-theorem2_8.html

①②这种最大值或最大数码仅仅只是理论上预测到它确实存在而已，实际操作上除非能够比较完数列无限多项的值才能得出这种最大值或最大数码，但是“比较完数列无限多项”这种事情目前仍然是不可能的。 “最小上界是这个数列的极限”证明看这里：http://redstoneleo.blogspot.com/2017/01/2.html

从 https://www.jrsoftware.org/files/istrans/ 下载到的中文语言文件ChineseSimplified.isl默认字号太小，用下面的内容替换该文件里的LangOptions这个部分后终于可以看清楚一点了 [LangOptions] ; The following three entries are very important. Be sure to read and  ; understand the '[LangOptions] section' topic in the help file. LanguageName=<4E2D><6587><FF08><7B80><4F53><FF09> LanguageID=$0804 LanguageCodePage=936 ; If the language you are translating to requires special font faces or ; sizes, uncomment any of the following entries and change them accordingly. DialogFontName=宋体 DialogFontSize=12 ;WelcomeFontName=Verdana WelcomeFontSize=10 ;TitleFontName=Arial ;TitleFontSize=29 ;CopyrightFontName=Arial CopyrightFontSize=12