有理数的阿基米德性质
任何有理数 （这里 和 都是整数并且${q≠0}$），因为 ，可知 对于任何有理数 ，总存在比它大的正整数 ，即 ，比如这里可取 ，这就是有理数的阿基米德性质（Archimedean Property for rational numbers） 1 。如果 是任意正有理数，那么 也是任意正有理数，对前面这个不等式两边取倒数有 ， 可知 对于任何正有理数，总存在正整数 使得 小于它 ，综合这两条性质来看—— 即没有最大的正有理数也没有最小的正有理数 。后面等我们学习到实数的阿基米德性质后，同样会明白 没有最大的正实数也没有最小的正实数 ，进而所谓的“无穷大数”和“无穷小数”也就不存在实数系里了 2 。 ，A内有最大的有理数吗？ 你也许会想到：如果 是A内最大的有理数，那么必有一个有理数 满足 （根据“任何两个不同实数间必然存在有理数”可得），故而A内没有最大的有理数。但是，这种方法依赖于实数或无理数的存在，假设我们仅仅只知道有理数，那么还能回答这个问题吗？能！用有理数的阿基米德性质就能解决这个问题，该问的解决对于我们后面以有理数为基础通过Dedekind Cut来构建数的连续体至关重要。 假设 是A内最大的有理数，只要选定足够大的正整数 就可以让 变得比 稍大一点点，那么我们很自然就会想：是不是存在正整数 使得 呢？若存在，那么我们便说明了A内有比 更大的有理数 ，从而说明A内无最大的有理数，下面是证明过程。 证明：假设A内有最大的有理数 ，那么 必然是正有理数且 。如果证明存在正整数 使得 ，便可得出A内有比 更大的有理数 ，从而说明A内无最大的有理数。 ，如果能证明存在正整数 使得 ，那么 自然得证。对 稍作变形可得 ，现在问题变成了是否存在正整数 使得 ，因为 是正有理数且 ，所以 是正有理数，由“对于任何正有理数，总存在正整数 使得 小于它”知存在这样的正整数 ，也就存在正整数 使得 ，所以A内无最大的有理数。 用类似的方法也可以证明 内无最小的有理数 3 。下一节我将以这两个问题为例介绍数的连续体的构建，请继续关注！ Charles Chapman Pugh, Real Mathematical Analysis, 1st Edition, P20 ↩ James S. Howland, Basic Real A...